Después de diseñar submarinos durante la Segunda Guerra Mundial, el Holandés Albert E. Bosman, quizá en un momento de ociocidad, comenzó a dibujar en el pizarrón un cuadrado, al que luego le añadió un triángulo rectángulo. A ese triángulo, le dibujó otros dos cuadrados, repitiendo el proceso de añadir más triángulos y cuadrados a los que iba formando. Repitió el proceso por un rato (a lo mejor hasta que se le acabó el espacio en el pizarrón), y al poco tiempo, una figura emergió. Tenía la apariencia de un árbol... y tenía cierta estética que resultaba placentera al ojo humano. A ese árbol lo bautizó como árbol Pitagórico. Compiló algunos de estos árboles y sus variaciones en su libro Geometría en el plano: un milagroso campo de investigación.
Árbol Pitagórico simétrico. Imagen tomada de este enlace.
Una variante del árbol Pitagórico que involucra el alterne de los ángulos rectos de un triángulo rectángulo, lo llevó a generar una figura muy parecida a un helecho.
Árbol Pitagórico similar a un helecho. Imagen tomada de este enlace.
Estos árboles tienen una dimensión fractal, y más allá de ser atractivos a la vista, también nos llevan a preguntarnos si no existirán estructural fractales al interior del cuerpo humano o en otros sistemas biológicos.
Un caso muy interesante y de relevancia médica por el impacto en la salud pública en la población de diabéticos, es la investigación sobre el árbol vascular del riñón.
Uno de los órganos que se ve impactado por la diabetes mellitus es el riñón, y a su vez, cuando existen complicaciones en el riñón, puede incrementarse la posibilidad de un infarto al corazón. Tomando en cuenta que el riñón está profusamente vascularizado y es el principal medio del que dispone nuestro organismo para purificar y mantener el equilibrio químico en la sangre, su estudio en el contexto de la diabetes mellitus tiene sentido. Pero ¿cómo modelarlo matemáticamente? ¿Cómo obtener un modelo abstracto, pero suficientemente fiel a la realidad para incluirlo, por ejemplo, en los modelos de control de diabetes?
La Dra. Aurora Espinosa Valdez logró generar árboles vasculares utilizando teoría de grafos e incorporando en los algoritmos decrecimiento del árbol información experimental de la fisiología presente en la bifurcación arterial. Es decir, el algoritmo que produce el árbol vascular no crece sin ton ni son, sino que lo hace contemplando restricciones biológicas. Así, los algoritmos desarrollados por la Dra. Espinosa lograron capturar la longitud y ancho promedio observada experimentalmente para los segmento del árbol vascular. Además, en su tesis doctoral “Grafos en el árbol vascular del riñón” (2010) se conjetura que la dimensión fractal podría usarse como parámetro para identificar si la morfología del riñón es apropiada para realizar sus funciones; esta información podría obtenerse de los angiogramas.
Árboles vasculares de diferente dimensión fractal (D) del riñón generados utilizando teoría de grafos. El artículo revisado por pares se puede consultar aquí.
Los casos anteriores se limitan al espacio de dos dimensiones, es decir, a un plano. Sin embargo, el riñón es un objeto tridimensional. Un siguiente paso sería adecuar el algoritmo del árbol vascular contemplando las restricciones biológicas en el desarrollo del riñón. Los resultados obtenidos en dos dimensiones son muy prometedores. O mejor aún, con el advenimiento de las impresoras 3D, podría generase un algoritmo que permita decirle a la impresora 3D cómo debe imprimir el árbol vascular de un riñón para sustituir, reparar o dar terapia a un paciente con daño o problemas del riñón. Y esto también implica el desarrollo de materiales "bioamigables".
A propósito de cómo la geometría (fractal, en los casos arriba mencionados) nos ayuda para describir la realidad biológica (hasta cierto punto), esta semana platico brevemente del descubrimiento de objetos geométricos en tres dimensiones que describen cómo las células epiteliales (los "bloques constructores" del interior y exterior de las superficies del cuerpo) se empaquetan formando escutoides, un objeto geométrico que no existía hasta que los matemáticos comenzaron a cuestionar la evidencia biológica sobre la verdadera forma de la células y las figuras geométricas que forman cuando se organizan.
Este artículo se publicó originalmente en el portal de Cadena Política el 3 de agosto de 2022.