La vida cotidiana nos regala oportunidades de formular problemas matemáticos que, dado el caso, superan por mucho el entretenimiento y se transforman en problemas de gran calado en el mundo de las matemáticas. La llamada Conjetura de Kepler es una de ellas.
En alguna parte de nuestra vida hemos sido testigos del acomodo de las naranjas en algún tianguis. Dependiendo del espacio que ocupe el puesto de frutas, lejos de ver acomodadas a las naranjas en cajas, las vemos apiladas formando una pirámide. Técnicamente, a este acomodo particular de entre muchos otros, se le llama "empaquetamiento cúbico centrado en las caras". Otra manera menos técnica pero más vinculada a la historia de la conjetura es el llamado "empaquetamiento de balas de cañón", de acuerdo con un memorial bélico de Múnich del siglo XVI.
La pregunta--formulada en 1611-- que Kepler buscaba responder era si ¿hay una manera de hacer una pila de naranjas más densa que la que se encuentra en algún puesto del mercado? Así de sencilla la pregunta, pero que los matemáticos tardaron en responder casi cuatro siglos. Había que inventar nuevas herramientas matemáticas además de contar con el poder de procesamiento de las computadoras del siglo pasado.
La conjetura de Kepler establece que el mejor empaquetamiento de esferas del mismo tamaño es la forma piramidal y que éste tiene una densidad máxima de empaquetamiento del 74.048%, según sus cálculos. Es otras palabras, no puede haber otro arreglo de esferas en tres dimensiones que supere ese valor.
Algunos matemáticos de gran talla trataron de resolverlo. Uno de ellos fue Gauss, quien demostró la conjetura pero para dos dimensiones, es decir, círculos en lugar de esferas: el empaquetamiento hexagonal es el que provee una mayor densidad de empaquetamiento, aproximadamente 90.69%.
Poco más de tres siglos después, en 1990, sería noticia de titulares el nombre de Wu Yi Hsiang, de la Universidad de California en Berkeley, al afirmar que había demostrado la conjetura de Kepler. Después de la fanfarria mediática, vinieron los revisores de la "demostración" propuesta por Hsiang. Lamentablemente, no le fue tan bien. La comunidad matemática encontró errores--calificados como garrafales--por lo que la "demostración", a pesar de que Hsiang contestó las críticas, quedó en entredicho y desacreditada. Algunos de los consensos de la comunidad matemática fueron:
El artículo de Hsiang no es una demostración de la conjetura de Kepler. Como mucho es un esquema de cómo podría ser la demostración.
El artículo es inadecuado incluso como esquema ya que se han encontrado contraejemplos a varios de sus pasos.
Vendría entonces C. T. Hales en 1998 con una demostración de la conjetura de Kepler haciendo uso extensivo de cálculos computacionales. La serie de artículos compilados que demostraba la Conjetura de Kepler ascendió a más de 200 páginas. Sin embargo, no fue sino hasta 2003, después de una extensa revisión (12 revisores a lo largo de 4 años), que se publicó la demostración en la revista Annals of Mathematics.
Con motivo de la entrega de la medalla Fields--el Nobel de las matemáticas--esta semana escribí sobre la historia detrás del problema matemático de apilar esferas y la ganadora de la medalla Fields por la demostración de la conjetura de Kepler en 8 y 24 dimensiones. Con ello, se abre camino a nuevas posibilidades de resolver problemas prácticos en el área de las telecomunicaciones... o casi todo aquello que se modele con esferas en dichas dimensiones. ¡Gracias por leer!
Este artículo se publicó originalmente en el portal de Cadena Política el 27 de julio de 2022.
https://elrincondelcapitannemo.wordpress.com/2022/07/29/la-conjetura-de-kepler/